Question

17．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，A，B分別為雙曲線C左、右兩支上的點，且四邊形ABOF（O為坐標原點）為菱形，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． 2

Answer 1

分析 利用四邊形ABOF（O為坐標原點）為菱形，結合雙曲線的對稱性，求出A的坐標，代入雙曲線方程然后求解離心率．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，A，B分別為雙曲線C左、右兩支上的點，且四邊形ABOF（O為坐標原點）為菱形，不妨A在x軸上方，可知A（$-\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}c}{2}$），代入雙曲線方程可得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{4{c}^{2}-4{a}^{2}}=1$．
可得e⁴-8e²+4=0，e＞1，
可得e²=$4+2\sqrt{3}$．
可得e=$\sqrt{3}+1$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，判斷A的位置是解題的關鍵，考查計算能力．