Question

13．設x，y滿足不等式$\left\{\begin{array}{l}y≤2\\ x+y≥1\\ x-y≤1\end{array}\right.$，若M=4x+y，N=（$\frac{1}{2}$）^x，則M-N的最小值為-4．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，M-N的最小值，就是M的最小值減去N的最大值，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數得答案．

解答 解：由約束條件不等式$\left\{\begin{array}{l}y≤2\\ x+y≥1\\ x-y≤1\end{array}\right.$作出可行域如圖，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得A（-1，2），
由z=4x+y，得y=-4x+z，
由圖可知，當直線y=-4x+z過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為-4+2=-2．即M的最小值為：-2．
N=（$\frac{1}{2}$）^x，由圖象可知N=（$\frac{1}{2}$）^x，經過A時，N取得最大值：2．
M-N的最小值為：-2-2=-4．
故答案為：-4．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．