Question

【題目】設函數f（x）=（x﹣a）ex+（a﹣1）x+a，a∈R．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）設g（x）=f′（x），證明：當a＞2時，函數g（x）在（0，+∞）上僅有一個零點；
（3）若對任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）=（x﹣1）ex+1，

f（x）的導數為f'（x）=xex，

可得y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為e，切點（1，1），

即有切線的方程為y﹣1=e（x﹣1），

即為y=ex+1﹣e；

（2）解：證明：g（x）=f'（x）=ex（x﹣a+1）+（a﹣1），

∴g'（x）=ex（x﹣a+2），

當g'（x）＜0時，x＜a﹣2；當g'（x）＞0時，x＞a﹣2

∵a＞2，

∴函數g（x）在（0，a﹣2）上遞減；在（a﹣2，+∞）上遞增，

又∵g（0）=0，g（a）=ea+a﹣1＞0，

當a＞2時，函數g（x）在（0，+∞）上僅有一個零點；

（3）解：對任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，

即為（x﹣a）ex+（a﹣1）x+a≤0對任意的x∈[0，2]恒成立，

顯然x=0時，0≤0成立；

當0＜x≤2時，（xex﹣x）+a（1+x﹣ex）≤0成立，

由1+x﹣ex的導數為1﹣ex，當0＜x≤2時，1﹣ex＜0，

函數1+x﹣ex遞減，即有1+x﹣ex＜0，

則a≥ 在0＜x≤2恒成立，

令h（x）= 的導數為h′（x）= ，

由（1﹣ex）2﹣x2ex的導數為ex（2ex﹣2﹣x2﹣2x），

由2ex﹣2﹣x2﹣2x的導數為2ex﹣2x﹣2=2（ex﹣x﹣1），

由ex﹣x﹣1的導數為ex﹣1，在x＞0時，ex﹣x﹣1遞增，且大于0，

則2ex﹣2﹣x2﹣2x遞增，且大于0；即有（1﹣ex）2﹣x2ex遞增，大于0；

則h（x）在（0，2]遞增，且有h（x）≤h（2）= ，

故a的范圍是a≥ ．

【解析】（1）當a=1時，f（x）=（x﹣1）ex+1，求出函數f（x）的導數，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；（2）由g（x）=f'（x）=ex（x﹣a+1）+（a﹣1），得到g'（x）=ex（x﹣a+2），從而函數g（x）在（0，a﹣2）上遞減；在（a﹣2，+∞）上遞增，再代入特殊值進而證得結論成立；（3）對任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，即為（x﹣a）ex+（a﹣1）x+a≤0對任意的x∈[0，2]恒成立，顯然x=0時，0≤0成立；當0＜x≤2時，（xex﹣x）+a（1+x﹣ex）≤0成立，判斷1+x﹣ex＜0，運用參數分離和構造函數，求出導數，判斷單調性，求得最大值即可得到所求范圍．