Question

偶函數f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且當x∈[0，1]時，f（x）=-x+1，則關于x方程f（x）-log₆（|x|+1）=0在x∈（-3，+∞）上解的個數是（　　）

A．7

B．8

C．9

D．10

Answer 1

分析：根據函數的奇偶性、單調性和周期性畫出圖象，進而即可得到答案．

解答：解：①設x∈[-1，0]，則（-x）∈[0，1]，
又∵函數f（x）是偶函數，∴f（x）=f（-x）=-（x+1）．
由函數f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），∴f（x）=f（x+2），∴函數f（x）是周期為2的函數．
因此可以先畫出y=f（x）在區間[-1，1]上的圖象，根據周期性即可畫出整個定義域內的圖象．
②先畫出g（x）=log₆（|x|+1）=log₆（x+1）在[0，+∞）上的圖象，根據其奇偶性即可畫出（-3，0）上的圖象．
由圖象可以看出：函數f（x）的值域是[0，1]；當x=±5時，g（x）=1，即x∈（-3，5]時，g（x）∈[0，1]，
當x＞5時，g（x）＞1．
由圖象和上面的分析可知：函數y=f（x） 與y=g（x）在區間（-3，+∞）上有且僅有8個交點，即關于x方程f（x）-log₆（|x|+1）=0在x∈（-3，+∞）上解的個數是8．
故選B．

點評：熟練掌握函數的奇偶性、單調性和周期性及畫出圖象是解題的關鍵．