Question

（1）設橢圓：與雙曲線：有相同的焦點，是橢圓與雙曲線的公共點，且的周長為，求橢圓的方程；
我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”.
（2）如圖，已知“盾圓”的方程為.設“盾圓”上的任意一點到的距離為，到直線的距離為，求證：為定值；
 
（3）由拋物線弧：（）與第（1）小題橢圓弧：（）所合成的封閉曲線為“盾圓”.設過點的直線與“盾圓”交于兩點，，且（），試用表示；并求的取值范圍.

Answer 1

（1） 
（2）利用；
（3）的取值范圍是.

試題分析：（1）由的周長為得，
橢圓與雙曲線：有相同的焦點，所以，
即，，橢圓的方程； 4分
（2）證明：設“盾圓”上的任意一點的坐標為，. 5分
當時，，，
即； 7分
當時，，，
即； 9分
所以為定值； 10分
（3）顯然“盾圓”由兩部分合成，所以按在拋物線弧或橢圓弧上加以分類，由“盾圓”的對稱性，不妨設在軸上方（或軸上）：
當時，，此時，； 11分
當時，在橢圓弧上，
由題設知代入得，
，
整理得，
解得或（舍去）. …12分
當時在拋物線弧上，
由方程或定義均可得到，于是，
綜上，（）或（）；
相應地，， 14分
當時在拋物線弧上，在橢圓弧上，
； 15分
當時在橢圓弧上，在拋物線弧上，
； 16分
當時、在橢圓弧上，
； 17分
綜上的取值范圍是. 18分
點評：難題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓標準方程時，主要運用了橢圓的定義及橢圓、雙曲線的幾何性質。（2）通過研究圓與圓的位置關系，證明了“定值”。（3）通過將點的坐標代入橢圓方程確定得到，利用三角函數性質，進一步確定得到步驟的范圍。