Question

10．已知數列{a_n}是等差數列，a₃=5，a₇=13，數列{b_n}前n項和為S_n，且滿足S_n=2b_n-1（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式可得a_n，利用遞推關系可得b_n．
（2）利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，∵a₃=5，a₇=13，∴a₁+2d=5，a₁+6d=13，
聯立解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵數列{b_n}前n項和為S_n滿足S_n=2b_n-1（n∈N^*），
∴n=1時，b₁=2b₁-1，解得b₁=1．
n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-1-（2b_n-1-1），化為：b_n=2b_n-1．
∴數列{b_n}為等比數列，首項為1，公比為2．
∴b_n=2^n-1．
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•2^n-1．
∴數列{c_n}的前n項和T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1．
∴2T_n=2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
∴-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ=1+$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ，
∴${T_n}=3+（2n-3）{2^n}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．