Question

18．已知函數$f（x）=2lnx（\frac{1}{e}≤x≤{e^2}）$，g（x）=mx+2，若f（x）與g（x）的圖象上存在關于直線y=1對稱的點，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． $[-\frac{2}{3}，-\frac{4}{e^2}]$
• B． $[-\frac{2}{e}，2e]$
• C． $[-\frac{4}{e^2}，2e]$
• D． $[-\frac{4}{e^2}，+∞]$

Answer 1

分析 求出g（x）關于直線y=1的對稱函數h（x），令f（x）與h（x）的圖象有交點得出m的范圍．

解答 解：g（x）=mx+2關于直線y=1對稱的直線為y=-mx，
∴直線y=-mx與y=2lnx在[$\frac{1}{e}$，e²]上有交點．
作出y=-mx與y=2lnx的函數圖象，如圖所示：

若直線y=-mx經過點（$\frac{1}{e}$，-2），則m=2e，
若直線y=-mx與y=2lnx相切，設切點為（x，y）．
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-mx}\\{y=2lnx}\\{\frac{2}{x}=-m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=e}\\{y=2}\\{m=-\frac{2}{e}}\end{array}\right.$．
∴-$\frac{2}{e}$≤m≤2e．
故選B．

點評 本題考查了函數零點與函數圖象的關系，導數的幾何意義，屬于中檔題．