Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA＝AB＝4，
 
G為PD中點，E點在AB上，平面PEC⊥平面PDC.
（Ⅰ）求證：AG⊥平面PCD；
（Ⅱ）求證：AG∥平面PEC；
（Ⅲ）求點G到平面PEC的距離.

Answer 1

（Ⅰ）證明：見解析；（Ⅱ）證明：見解析；（Ⅲ）G點到平面PEC的距離為. 

本試題主要考查了線面的位置關系的運用，點到面的距離的求解。
線面平行的判定和線面垂直的判定的綜合運用。
（1）由于CD⊥AD，CD⊥PA    ∴CD⊥平面PAD  ∴CD⊥AG又PD⊥AG，從而由判定定理得到結論。
（2）作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD 
∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD，故EF∥AG可知線面平行。
（3）由AG∥平面PEC知A、G兩點到平面PEC的距離相等
由（Ⅱ）知A、E、F、G四點共面，又AE∥CD 
∴ AE∥平面PCD
∴ AE∥GF，∴ 四邊形AEFG為平行四邊形，∴ AE＝GF，然后利用轉換頂點得到體積的求解。
解（Ⅰ）
，

證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA    
∴CD⊥平面PAD  ∴CD⊥AG
又PD⊥AG     
∴AG⊥平面PCD          …………4分
（Ⅱ）證明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD 
∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD 
∴EF∥AG，又AG 面PEC，EF 面PEC，
∴AG∥平面PEC    ………………7分
（Ⅲ）由AG∥平面PEC知A、G兩點到平面PEC的距離相等
由（Ⅱ）知A、E、F、G四點共面，又AE∥CD 
∴ AE∥平面PCD
∴ AE∥GF，∴ 四邊形AEFG為平行四邊形，∴ AE＝GF     ……………8分

∥ ＝

PA＝AB＝4， G為PD中點，FG   CD

∴ FG＝2       ∴ AE＝FG＝2                   ………………………9分
∴                ………………………10分
又EF⊥PC，EF＝AG
∴         ………………………11分
又 ，∴，即，∴
∴ G點到平面PEC的距離為.              ………………………12分網