Question

（本題滿分14分）如圖，已知平面平面，與分別是棱長為1與2的正三角形，//，四邊形為直角梯形，//，，點為的重心，為中點，，

（Ⅰ）當時，求證：//平面
（Ⅱ）若直線與所成角為，試求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值.

（1）只須證：連接AG并延長交CE于P點，連接PB，PD，易證NPDF為平行四邊形，然后根據平行線分分段成比例關系證DM//PF即可.
(2) 由于本小題建系比較容易，所以易采用空間向量法求二面角即可.先求出二面角兩個面的法向量，然后根據法向量的夾角與二面角相等或互補進行計算.
（Ⅰ）連延長交于，

因為點為的重心，所以
又，所以，所以//；
因為//，//，所以平面//平面，
又與分別是棱長為1與2的正三角形，
為中點，為中點, //,又//，
所以//，得四點共面
//平面
（Ⅱ）平面平面，易得平面平面，
以為原點，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，
則，設，
，
，
因為與所成角為，所以，
得，，，
設平面的法向量，則，取，
面的法向量，
所以二面角的余弦值.