Question

（本小題滿分12分）
如圖所示， 四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA^CD，PA = 1， PD＝，E為PD上一點，PE = 2ED．

（Ⅰ）求證：PA^平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；
（Ⅲ）在側棱PC上是否存在一點F，使得BF // 平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ） 見解析；
（Ⅱ）二面角D—AC―E的平面角的余弦值為；
（Ⅲ）存在PC的中點F, 使得BF//平面AEC．

本試題主要是考查了線面的垂直的證明以及二面角的求解，以及線面平行的判定定理的綜合運用
（1）根據(jù)已知結合勾股定理和線面垂直的判定定理得到。
（2）建立空間直角坐標系，然后設出點的坐標和向量的坐標，借助于向量的數(shù)量積的性質，表示向量的夾角，得到二面角的平面角的求解。
（3）假設存在點PC的中點F, 使得BF//平面AEC．，那個根據(jù)假設推理論證，得到結論。
解：（Ⅰ）  PA =" PD" =" 1" ,PD =" 2" ,
 PA² + AD² = PD², 即：PA ^ AD      ---2分
又PA ^ CD , AD , CD 相交于點D,
 PA ^平面ABCD                -------4分
（Ⅱ）過E作EG//PA 交AD于G，
從而EG ^平面ABCD，
且AG =" 2GD" , EG = PA = ,                                 ------5分
連接BD交AC于O, 過G作GH//OD ，交AC于H，

連接EH．GH ^ AC , EH ^ AC ,
Ð EHG為二面角D—AC―E的平面角．                        -----6分
tanÐEHG = = ．二面角D—AC―E的平面角的余弦值為-------7分
（Ⅲ）以AB , AD , PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．
則A（0 ，0， 0），B（1，0，0） ，C（1，1，0），P（0，0，1），E（0 , ,）, = （1,1,0）,
 = （0 , , ）                                               
設平面AEC的法向量= （x, y,z） , 則
 ，即：， 令y =" 1" ,
則 = （- 1,1, - 2 ）                                      -------------10分
假設側棱PC上存在一點F, 且＝  ，
（0 £ £ 1）, 使得：BF//平面AEC, 則× ＝ 0．
又因為：＝ +  ＝ （0 ，1，0）+ （-,-,）= （-,1-,）,
× ＝+ 1- - 2 =" 0" ,  = ,
所以存在PC的中點F, 使得BF//平面AEC．                  ----------------12分