Question

如圖在四棱錐中，底面是菱形，,底面，是的中點(diǎn)，是中點(diǎn)。

（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面⊥平面；
（3）求與平面所成的角。

Answer 1

解：（1）（2） 見解析
（3）直線BE與平面PAC所成的角為45⁰ 

往往有兩個(gè)中點(diǎn)時(shí)，考慮中位線，當(dāng)兩中點(diǎn)不能構(gòu)成中位線時(shí)，考慮構(gòu)造另一個(gè)中點(diǎn)，組成兩對(duì)中位線。∵ PA⊥平面ABCD 則PA⊥平面ABCD內(nèi)所有的直線，∴ DF⊥PA，再結(jié)合四邊形ABCD是菱形，找到另一垂直條件。
（1）取PD中點(diǎn)為M，連ME，MF  ∵ E是PC的中點(diǎn) 
∴ ME是△PCD的中位線∴ MECD   ∵ F是AB中點(diǎn)且由于ABCD是菱形，ABCD
∴ MEFB   ∴ 四邊形MEBF是平行四邊形  …………2分
∴ BE∥MF   …………………3分
∵ BE平面PDF ,MF平面PDF  ∴ BE∥平面PDF  ………4分
（2）  ∵ PA⊥平面ABCD  DF平面ABCD   ∴ DF⊥PA……………5分
∵ 底面ABCD是菱形，∠BAD=60⁰  ∴ △DAB為正△
∵ F是AB中點(diǎn)  ∴ DF⊥AB   ……………6分
∵ PA、AB是平面PAB內(nèi)的兩條相交直線  ∴ DF⊥平面PAB  ………7分
∵ DF平面PDF  ∴ 平面PDF⊥平面PAB  ………………8分
（3）連BD交AC與O、連EO   ∵ 底面ABCD是菱形 ∴ BO⊥AC
∵ PA⊥平面ABCD  BO平面ABCD   ∴ BO⊥PA
∵ PA、AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線  ∴ BO⊥平面PAC  …………9分
∴ EO是BE在平面PAC內(nèi)的射影 
∴ ∠BEO是BE與平面PAC所成的角  ………………10分
∵ O是AC、BD的中點(diǎn)  ∴ BO=1，EO是△PAC的中位線 ∴ EO=PA=1
∴ 在直角△BEO中，tan∠BEO=="1" ∴ ∠BEO=45⁰
∴ 直線BE與平面PAC所成的角為45⁰