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如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD中為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．
（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）點M在線段PC上，PM=tPC，試確定實數t的值，使得PA∥平面MQB．
（1）連BD，四邊形ABCD菱形∵AD=AB，∠BAD=60°
∴△ABD是正三角形，Q為 AD中點
∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q為 AD中點AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD
（2）當t=
1
3
時，使得PA∥平面MQB，
連AC交BQ于N，交BD于O，
則O為BD的中點，又∵BQ為△ABD邊AD上中線，
∴N為正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的邊長為a，則AN=
3
3
a，AC=
3
a．
∴PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA∥MN
PM
PC
=
AN
AC
=
3
a
3
3
a
=
1
3
即：PM=
1
3
PC，t=
1
3
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D是CC1的中點，F是A1B的中點，
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥平面BDF．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分別是線段PA、CD的中點．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α；
（Ⅲ）求異面直線EF與BD所成的角β．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，棱柱ABC-A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B
（Ⅰ）證明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
（Ⅱ）設D是A1C1上的點，且A1B∥平面B1CD，求A1D：DC1的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD，E、F、G分別為AB、PC、DC的中點，
（1）求證：EF∥面PAD；
（2）若PA⊥平面ABCD，求證：面EFG⊥面ABCD．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱A1B1C1-ABC的三視圖，主視圖和側視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，點M是A1B1的中點．
（I）求證：B1C∥平面AC1M；
（II）求證：平面AC1M⊥平面AA1B1B．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，ABCD是矩形，三角形PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面APD⊥面ABCD，AB=1，AD=2，E，F分別為PC和BD的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）證明：平面PAD⊥平面PDC；
（3）求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AB∥DC，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M為PB的中點．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）求二面角A-PB-C的平面角的正切值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

若，則的最小值為         ．

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