Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)在同一半周期內(nèi)的圖象過點，其中為坐標原點，為函數(shù)圖象的最高點，為函數(shù)的圖象與軸的正半軸的交點.

（Ⅰ）求證：為等腰直角三角形.

（Ⅱ）將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到，若點恰好落在曲線上（如圖所示），試判斷點是否也落在曲線上，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）點不落在曲線上.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為函數(shù)的最小正周期，所以函數(shù)的半周期為4，故． 又因為為函數(shù)圖象的最高點，所以點坐標為，故，又因為坐標為，所以，根據(jù)勾股定理，即可證明為等腰直角三角形. （Ⅱ）

由（Ⅰ）知，，所以點,的坐標分別為,

， 因為點在曲線上，所，根據(jù)角的范圍，化簡可得，所以點不落在曲線上．

試題解析：【解析】
（Ⅰ）因為函數(shù)的最小正周期， 1分

所以函數(shù)的半周期為4，

故． 2分

又因為為函數(shù)圖象的最高點，

所以點坐標為，故， 3分

又因為坐標為，所以，

所以且，所以為等腰直角三角形. 5分

（Ⅱ）點不落在曲線上. 6分

理由如下：

由（Ⅰ）知，，

所以點,的坐標分別為,， 8分

因為點在曲線上，

所以，

即，又，所以. 10分

又.

所以點不落在曲線上． 12分

考點：1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義；2.二倍角公式.