Question

18．已知函數f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）．
（1）若a=1時函數f（x）有三個互不相同的零點，求實數m的取值范圍；
（2）若對任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在[-2，2]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）得到m=-x³-x²+x有三個互不相等的實數根，令g（x）=-x³-x²+x，根據函數的單調性求出g（x）的最大值和最小值，從而求出m的范圍即可；
（2）求出函數f（x）的導數，得到函數的單調區間，求出f（x）的最大值，問題轉化為-8+4a+2a²+m≤1，根據a的范圍，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）當a=1時f（x）=x³+x²-x+m．
∵函數f（x）有三個互不相同的零點，
∴x³+x²-x+m=0即m=-x³-x²+x有三個互不相等的實數根．
令g（x）=-x³-x²+x，
則g′（x）=-3x²-2x+1=-（3x-1）•（x+1），
∴g（x）在（-∞，-1）和（$\frac{1}{3}$，+∞）上均為減函數，在（-1，$\frac{1}{3}$）上為增函數，
∴g（x）_極小值=g（-1）=-1，_{^g（x）極大值}=$\frac{5}{27}$，
∴m的取值范圍是（-1，$\frac{5}{27}$）；
（2）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-$\frac{a}{3}$）（x+a），且a＞0，
∴當x＜-a或x＞$\frac{a}{3}$時，f′（x）＞0；
當-a＜x＜$\frac{a}{3}$時，f′（x）＜0．
∴函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-a）和（$\frac{a}{3}$，+∞），單調遞減區間為（-a，$\frac{a}{3}$）．
當a∈[3，6]時，$\frac{a}{3}$∈[1，2]，-a≤-3．又x∈[-2，2]，
∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}，
又f（2）-f（-2）=16-4a²＜0，
∴f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m．
又∵f（x）≤1在上恒成立，
∴f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1，
即當a∈[3，6]時，m≤9-4a-2a²恒成立．
∵9-4a-2a²在上的最小值為-87，
∴m的取值范圍是（-∞，-87]．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，考查二次函數的性質，是一道中檔題．