Question

6．已知兩個不相等的非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$兩組向量$\overrightarrow{{x}_{1}}$、$\overrightarrow{{x}_{2}}$、$\overrightarrow{{x}_{3}}$、$\overrightarrow{{x}_{4}}$、$\overrightarrow{{x}_{5}}$和$\overrightarrow{{y}_{1}}$、$\overrightarrow{{y}_{2}}$、$\overrightarrow{{y}_{3}}$、$\overrightarrow{{y}_{4}}$、$\overrightarrow{{y}_{5}}$均由2個$\overrightarrow{a}$和3個$\overrightarrow{b}$排列而成．記S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$+$\overrightarrow{{x}_{5}}$•$\overrightarrow{{y}_{5}}$，S_min表示S所有可能取值中的最小值．則下列說法正確的有幾個（　　）
①S有5個不同的值．    
②若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，則S_min與$|{\overrightarrow a}$|無關
③若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$則S_min與$|{\overrightarrow b}$|無關．
④若$|{\overrightarrow b}|＞4|{\overrightarrow a}$|，則S_min＞0
⑤若|$\overrightarrow b|=2|\overrightarrow a|，S{\;}_{min}=8|\overrightarrow a{|^2}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{π}{3}$．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由條件即可得出$S=2{\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow{b}}^{2}$，或${\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，或${\overrightarrow{b}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，先可判斷①錯誤，而$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$時，便可得出${S}_{min}={\overrightarrow{b}}^{2}$，從而判斷出②正確，$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$時，可設$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$，從而可判斷③錯誤，而$|\overrightarrow{b}|=4|\overrightarrow{a}|$時，可以求出${S}_{min}=16{\overrightarrow{a}}^{2}+16{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞＞0$，從而判斷出④正確，而$|\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}|$，且${S}_{min}=8|\overrightarrow{a}{|}^{2}$時，可以求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夾角為$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$，從而判斷說法⑤錯誤，從而找出正確選項．

解答 解：根據條件得，$S=2{\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow{b}}^{2}$，或${\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，或${\overrightarrow{b}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$；
∴①錯誤；
$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$時，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，∴${S}_{min}={\overrightarrow{b}}^{2}$；
即S_min與$|\overrightarrow{a}|$無關；
∴②正確；
若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，設$\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$，則S=$（2{k}^{2}+3）{\overrightarrow{b}}^{2}$，或$（{k}^{2}+2+2k）{\overrightarrow{b}}^{2}$，或$（1+4k）{\overrightarrow{b}}^{2}$；
∴S_min與$|\overrightarrow{b}|$有關；
∴③錯誤；
若$|\overrightarrow{b}|＞4|\overrightarrow{a}|$，當$|\overrightarrow{b}|=4|\overrightarrow{a}|$時，S=$50{\overrightarrow{a}}^{2}$，或${\overrightarrow{a}}^{2}+32{\overrightarrow{a}}^{2}+8{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$，或$16{\overrightarrow{a}}^{2}+16{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$；
∴S_min＞0；
∴④正確；
若$|\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}|$，則$S=14{\overrightarrow{a}}^{2}$，或$8{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}{+2\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$，或$4{\overrightarrow{a}}^{2}+8{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$；
∴${S}_{min}=8|\overrightarrow{a}{|}^{2}$時，${\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$，或$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夾角為$\frac{2π}{3}$或$\frac{π}{3}$；
∴⑤錯誤；
故說法正確的有2個．
故選B．

點評 考查向量數量積的運算及計算公式，向量垂直的充要條件，共線向量基本定理，以及向量夾角的范圍．