Question

1．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為$\sqrt{2}$的正方形，AA₁=3，E是AA₁的中點，過C₁作C₁F⊥平面BDE與平面ABB₁A₁交于點F，則$\frac{AF}{{A{A_{1}}}}$等于（　　）

• A． $\frac{4}{7}$
• B． $\frac{5}{8}$
• C． $\frac{5}{9}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 連結AC、BD，交于點O，當C₁F與EO垂直時，C₁F⊥平面BDE，從而F∈AA₁，△C₁A₁F∽△EAO，由此能求出$\frac{AF}{A{A}_{1}}$的值．

解答 解：連結AC、BD，交于點O，
∵四邊形ABCD是正方形，AA₁⊥底面ABCD，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
則當C₁F與EO垂直時，C₁F⊥平面BDE，
∵F∈平面ABB₁A₁，∴F∈AA₁，
 在矩形ACC₁A₁中，△C₁A₁F∽△EAO，
則$\frac{{A}_{1}{C}_{1}}{{A}_{1}F}$=$\frac{AE}{AO}$，
∵A₁C₁=2AO=$\sqrt{2}AB=2$，AE=$\frac{3}{2}$，
∴A₁F=$\frac{4}{3}$，∴AF=$\frac{5}{3}$，∴$\frac{AF}{A{A}_{1}}$=$\frac{5}{9}$．
故選：C．

點評 本題考查兩線段的比值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．