Question

11．已知點P（2，0）及圓C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（1）設過P直線l₁與圓C交于M、N兩點，當|MN|=4時，求以MN為直徑的圓Q的方程；
（2）設直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點，是否存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由利用兩點間的距離公式求出圓心C到P的距離，再根據弦長|MN|的一半及半徑，利用勾股定理求出弦心距d，發現|CP|與d相等，所以得到P為MN的中點，所以以MN為直徑的圓的圓心坐標即為P的坐標，半徑為|MN|的一半，根據圓心和半徑寫出圓的方程即可；
（2）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關于x的一元二次方程，因為直線與圓有兩個交點，所以得到△＞0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，利用反證法證明：假設符合條件的a存在，由直線l₂垂直平分弦AB得到圓心必在直線l₂上，根據P與C的坐標即可求出l₂的斜率，然后根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，即可求出直線ax-y+1=0的斜率，進而求出a的值，經過判斷求出a的值不在求出的范圍中，所以假設錯誤，故這樣的a不存在．

解答 解：（1）由于圓C：x²+y²-6x+4y+4=0的圓心C（3，-2），半徑為3，
|CP|=$\sqrt{5}$，而弦心距d=$\sqrt{5}$，
所以d=|CP|=$\sqrt{5}$，所以P為MN的中點，
所以所求圓的圓心坐標為（2，0），半徑為$\frac{1}{2}$|MN|=2，
故以MN為直徑的圓Q的方程為（x-2）²+y²=4；
（2）把直線ax-y+1=0即y=ax+1．代入圓C的方程，消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直線ax-y+1=0交圓C于A，B兩點，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，即-2a＞0，解得a＜0．
則實數a的取值范圍是（-∞，0）．
設符合條件的實數a存在，
由于l₂垂直平分弦AB，故圓心C（3，-2）必在l₂上．
所以l₂的斜率k_PC=-2，
∴k_AB=a=$\frac{1}{2}$，
由于$\frac{1}{2}∉（-∞，0）$，
故不存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB．

點評 此題考查學生掌握直線與圓的位置關系，靈活運用點到直線的距離公式及兩點間的距離公式化簡求值，以及會利用反證法進行證明，是一道綜合題．