Question

已知a_n=A_n¹+A_n²+A_n³+…+A_nⁿ（n∈N^*），當n≥2時，求證：
（1）；
（2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先整理一般的排列數，得到兩項之間的關系，從要證明的等式的右邊入手，利用前面整理出來的結果，代換式子中的量，展開得到結果，即原等式得證．
（2）根據第一問得到的結論，整理要證明的不等式的右邊，利用代換，放縮變換，再裂項，合并同類項，得到要求的結果不等式得證．
解答：證明：（1）∵，
所以當n≥2時，（A_n¹+A_n²+…+A_nⁿ）=
=1+（A_n-1¹+…+A_n-1^n-1）=1+a_n-1．
∴．
（2）由（1）得，即，
∴…
=（A_n+1¹+A_n+1²+…+A_n+1ⁿ⁺¹）
=……
=…=．
∴原不等式成立．
點評：本題考查組合數的性質，考查不等式的證明，考查放縮法證明不等式，考查裂項求數列的和，是一個綜合題，是一個中檔題目．