Question

已知等差數列{a_n}的首項為a，公差為b，等比數列{b_n}的首項為b，公比為a（其中a，b均為正整數）．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂=b₂，求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若a1，a3，an1，an2，…，ank，…（3＜n₁＜n₂＜…＜n_k＜…）成等比數列，求數列{n_k}的通項公式；
（Ⅲ）若a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃，且至少存在三個不同的b值使得等式a_m+t=b_n（t∈N）成立，試求a、b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件得：

a=b a+b=ab

，由此解得a_n=2n，b_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ank=2•3k+1，再由ank=2nk知2n_k=2•3^k+1，所以n_k=3^k+1．
（Ⅲ）由題設條件可知1＜1+

1

b-1

=

b

b-1

＜a＜

2b

b-1

=2+

2

b-1

≤4，所以滿足條件的a=2．再由a_m=2+b（m-1），b_n=b•2^n-1，知（2^n-1-m+1）b=2+t．由此可導出滿足條件的最小整數為12，所以t的最小值為10，此時b=3或4或12．

解答：解：（Ⅰ）由a₁=b₁，a₂=b₂得：

a=b a+b=ab

，
解得：a=b=0或a=b=2，∵a，b∈N⁺，
∴a=b=2，從而a_n=2n，b_n=2ⁿ
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a₁=2，a₃=6，∴a1，a3，an1，an2，，ank，構成以2為首項，3為公比的等比數列，即：ank=2•3k+1
又ank=2nk，故2n_k=2•3^k+1，∴n_k=3^k+1
（Ⅲ）由a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃得：a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，
由a+b＜ab得：a（b-1）＞b；由ab＜a+2b得：a（b-1）＜2b，
而a，b∈N^*，a＜b，即：b＞a≥1，從而得：1＜1+

1

b-1

=

b

b-1

＜a＜

2b

b-1

=2+

2

b-1

≤4，
∴a=2，3，當a=3時，b=2不合題意，故舍去，
所以滿足條件的a=2．
又∵a_m=2+b（m-1），b_n=b•2^n-1，故2+b（m-1）+t=b•2^n-1，
即：（2^n-1-m+1）b=2+t
①若2^n-1-m+1=0，則t=-2∉N，不合題意；
②若2^n-1-m+1≠0，則b=

2+k

2n-1-m+1

，由于2^n-1-m+1可取到一切整數值，且b≥3，
故要至少存在三個b使得a_m+t=b_n（t∈N）成立，
必須整數2+t至少有三個大于或等于3的不等的因數，
故滿足條件的最小整數為12，所以t的最小值為10，此時b=3或4或12．

點評：本題考查數列性質的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．