Question

已知f(x)(x∈R，x≠

1

a

)滿足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1且使f（x）=2x成立的實數x有且只有一個．
（1）求f（x）的表達式；
（2）數列{a_n}滿足：a1=

2

3

，an+1=f(an)，bn=

an

1-an

(n∈N*)，證明：{b_n}為等比數列．
（3）在（2）的條件下，若cn=

1

bn+(-1)n

(n∈N*)，Sn=c1+c2+…+cn，求證：Sn＜

3

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

2bx

ax-1

，知

f1=1 2bx ax-1 =2x僅有一根

，由此能求出f（x）的表達式．
（2）由b_n+1=2b_n，能夠證明{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列．
（3）由b_n=2ⁿ，知C_n=

1

2n+(-1)n

，所以C_2k+C_2k+1=

1

22k+1

+

1

22k+1-1

=

22k+22k+1

22k•22k+1+22k-1

＜

22k+22k+1

22k•22k+1

=

1

22k

+

1

22k+1

．由此能夠證明S_n＜

3

2

．

解答：解：（1）∵f（x）=

2bx

ax-1

，
∴

f1=1 2bx ax-1 =2x僅有一根

，
∴

2b=a-1 b+1=0

⇒

a=-1 b=-1

⇒f(x)=

2x

x+1

（2）證明：∵a1=

2

3

，an+1=f(an)，bn=

an

1-an

(n∈N*)，
∴b1=

2 3

1- 2 3

=2，
b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列．
（3）∵b_n=2ⁿ，
∴C_n=

1

2n+(-1)n

∴C_2k+C_2k+1=

1

22k+1

+

1

22k+1-1

=

22k+22k+1

22k•22k+1+22k-1

＜

22k+22k+1

22k•22k+1

=

1

22k

+

1

22k+1

∴n為奇數時，S_n=C₁+（C₂+C₃）+…+（C_n-1+C_n）＜1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

3

2

-

1

2n

＜

3

2

n為偶數時，S_n＜S_n+1＜

3

2

綜合以上，S_n＜

3

2

點評：本題考查函數與數列的綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．