Question

已知函數f(x)(x∈R，x≠

1

a

)滿足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1；且使f（x）=2x成立的實數x只有一個．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）若數列{a_n}滿足a1=

2

3

，a_n+1=f（a_n），bn=

an

1-an

，n∈N^*，證明數列{b_n}是等比數列，并求出{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先將函數化為f(x)=

2bx

ax-1

，利用f（1）=1，得a=2b+1．根據f（x）=2x只有一解，可得2ax²-2（1+b）x=0（a≠0）只有一解，從而可求b，a的值；
（Ⅱ）解法一：先猜想，an=

2n

2n+1

(n∈N*)．再用數學歸納法證明，關鍵是假設n=k時，命題成立，即ak=

2k

2k+1

；證明 n=k+1時，ak+1=f(ak)=

2ak

ak+1

=

2× 2k 2k+1

2k 2k+1 +1

=

2k+1

2k+1+1

，從而得證，進而可求{b_n}的通項公式；
解法二：根據a1=

2

3

，an+1=f(an)=

2an

an+1

，可得

1

an+1

=

1

2

(

1

an

+1)，利用bn=

an

1-an

，可得結論．

解答：解：（Ⅰ）由ax•f（x）=2bx+f（x），x≠

1

a

，a≠0，得f(x)=

2bx

ax-1

．…（2分）
由f（1）=1，得a=2b+1．…（3分）
由f（x）=2x只有一解，即

2bx

ax-1

=2x，也就是2ax²-2（1+b）x=0（a≠0）只有一解，
∴4（1+b）²-4×2a×0=0
∴b=-1．…（5分）
∴a=-1．
故f(x)=

2x

x+1

．…（6分）
（Ⅱ）解法一：∵a1=

2

3

，a_n+1=f（a_n），
∴a2=f(a1)=f(

2

3

)=

4

5

，a3=f(a2)=f(

4

5

)=

8

9

，a4=f(a3)=f(

8

9

)=

16

17

，…（7分）
猜想，an=

2n

2n+1

(n∈N*)．…（8分）
下面用數學歸納法證明：
①當n=1時，左邊=a1=

2

3

，右邊=

21

21+1

=

2

3

，∴命題成立．…（10分）
②假設n=k時，命題成立，即ak=

2k

2k+1

；
當 n=k+1時，ak+1=f(ak)=

2ak

ak+1

=

2× 2k 2k+1

2k 2k+1 +1

=

2k+1

2k+1+1

，
∴當 n=k+1時，命題成立．…（12分）
由①②可得，當n∈N^*時，有an=

2n

2n+1

．…（13分）
∵bn=

an

1-an

=2n，(n∈N*)，
∴

bn+1

bn

=2，(n∈N*)a₁=2
∴{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列，其通項公式為b_n=2ⁿ．…（14分）
解法二：∵a1=

2

3

，an+1=f(an)=

2an

an+1

∴

1

an+1

=

1

2

(

1

an

+1)…（8分）
即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，…（10分）
∴

1

bn+1

=

1

2bn

即bn+1=2bn(n∈N+)…（12分）
則數列{b_n}是以b₁=2為首項2為公比的等比數列，b_n=2ⁿ，（n∈N^*）…（14分）

點評：本題以函數為載體，考查函數的性質，考查函數解析式的求解，考查數列通項公式的求解，考查數學歸納法的運用，正確理解題意是關鍵．