Question

設函數f（x）=cos（ωx+φ）-

3

sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜

π

2

）且其圖象相鄰的兩條對稱軸為x=0，x=

π

2

，則（　　）

• A、y=f（x）的最小正周期為2π，且在（0，π）上為增函數
• B、y=f（x）的最小正周期為π，且在 （0，π）上為減函數
• C、y=f（x）的最小正周期為π，且在（0，

  π

  2

  ）上為增函數
• D、y=f（x）的最小正周期為π，且在（0，

  π

  2

  ）上為減函數

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數

專題：三角函數的圖像與性質

分析：利用兩角和的余弦公式化簡函數f（x），由題意求出ω、φ的值，即可確定函數f（x）的解析式，并求出周期，判定函數f（x）的單調區間．

解答：解：∵f（x）=cos（ωx+φ）-

3

sin（ωx+φ）
=2[

1

2

cos（ωx+φ）-

3

2

sin（ωx+φ）]
=2cos（ωx+φ+

π

3

），
且f（x）的圖象相鄰的兩條對稱軸為x=0，x=

π

2

，
∴它的半周期為

1

2

×

2π

ω

=

π

2

-0，
∴ω=2，T=π；
當x=0時，f（x）=2cos（φ+

π

3

）=kπ，k∈Z，
∴φ=-

π

3

；
∴f（x）=2cos2x，
∴f（x）的最小正周期是π，且在（0，

π

2

）上是減函數．
故選：D．

點評：本題考查了兩角和差的正弦、余弦公式以及三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了數形結合思想的應用問題，解題時應先化簡函數f（x），求出f（x）的解析式，是基礎題．