Question

【題目】如圖，邊長為2的正方形ABCD所在平面與三角形CDE所在的平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1．
（1）求證：AB∥平面CDE；
（2）求證：DE⊥平面ABE；
（3）求點A到平面BDE的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵正方形ABCD中，AB∥CD，

AB平面CDE，CD平面CDE，

∴AB∥平面CDE

（2）證明：∵AE⊥平面CDE，CD平面CDE，DE平面CDE，

∴AE⊥CD，DE⊥AE，

在正方形ABCD中，CD⊥AD，

∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．

∵DE平面ADE，∴CD⊥DE，

∵AB∥CD，∴DE⊥AB，

∵AB∩AE=E，∴DE⊥平面ABE

（3）解：∵AB⊥AD，AB⊥DE，AD∩DE=D，

∴AB⊥平面ADE，

∴三棱錐B﹣ADE的體積VB﹣ADE= = = ，

= = ，

設點A到平面BDE的距離為d，

∵VA﹣BDE=VB﹣ADE，∴ = ，解得d= ，

∴點A到平面BDE的距離為 ．

【解析】（1）推導出AB∥CD，由此能證明AB∥平面CDE．（2）推導出AE⊥CD，DE⊥AE，從而CD⊥DE，再由DE⊥AB，能證明DE⊥平面ABE．（3）由AB⊥平面ADE，能求出三棱錐B﹣ADE的體積．再由VA﹣BDE=VB﹣ADE，能求出點A到平面BDE的距離．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．