Question

【題目】如圖，橢圓C： + =1（a＞b＞0）的右焦點為F，右頂點、上頂點分別為點A、B，且|AB|= |BF|．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若斜率為2的直線l過點（0，2），且l交橢圓C于P、Q兩點，OP⊥OQ．求直線l的方程及橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知 ， 即 ，4a2+4b2=5a2 ， 4a2+4（a2﹣c2）=5a2 ， ∴ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2 ， ∴橢圓C： ．
設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
直線l的方程為y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0．
由 ，
即17x2+32x+16﹣4b2=0．
．
， ．
∵OP⊥OQ，∴ ，
即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0．
從而 ，解得b=1，
∴橢圓C的方程為
【解析】（Ⅰ）利用|AB|= |BF|，求出a，c的關系，即可求橢圓C的離心率；（Ⅱ）直線l的方程為y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0與橢圓C： 聯立，OP⊥OQ，可得 ， 利用韋達定理，即可求出橢圓C的方程．