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已知正數a，b，c滿足a+2b+3c=6，求證：
a+1
+
2b+2
+
3c+3
≤6．
考點：二維形式的柯西不等式
專題：不等式的解法及應用
分析：由題意可得（a+1）+（2b+2）+（3c+3）=12，再根據36=[（a+1）+（2b+2）+（3c+3）][12+12+12]，利用柯西不等式證得結論．
解答： 證明：∵因為a+2b+3c=6，∴（a+1）+（2b+2）+（3c+3）=12，
由柯西不等式，可得[（a+1）+（2b+2）+（3c+3）][12+12+12]≥(
a+1
+
2b+2
+
3b+3
)2，即12×3≥(
a+1
+
2b+2
+
3b+3
)2，
∴
a+1
+
2b+2
+
3c+3
≤6，當且僅當
a+1
=
2b+2
=
3c+3
 時取等號，此時a=3 b=2 c=
1
3
．
點評：本題主要考查柯西不等式的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知一個圓錐的底面圓的半徑為1，體積為
2
2
3
π，則該圓錐的側面積為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax-a-x（a＞1）若△ABC是銳角三角形，則一定成立的是（　　）
A、f（sinA）＞f（cosB）
B、f（sinA）＜f（cosB）
C、f（sinA）＞f（sinB）
D、f（cosA）＞f（cosB）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}的前n項和Sn=-
1
2
n2+kn（k∈NΦ），且Sn的最大值為8，則a2=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知3
a
-2
b
=（-2，0，4），
c
=（-2，1，2），|
b
|=4，θ為向量
b
與
c
的夾角．
（1）當
a
?
c
=2時，求θ的值； 
（2）設
a
?
c
=m，m∈R，m為何值時，θ的值最大？此時
b
的坐標為多少？

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知三個數1，m，4成等比數列，則圓錐曲線x2+
y2
m
=1的離心率為 （　�。�
A、
2
2
或
3
B、
2
2
C、
3
D、
3
2
或
3

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊，
3
c=2asin（A+B），f（
B
2
）=-1，試判斷△ABC的形狀．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知實數x，y滿足條件
x-y-2≤0
x+y+2≥0
y≤0
，那么目標函數z=x+2y的最小值是（　　）
A、-6B、-4C、-2D、4

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓x2+y2=1及以下三個函數：（1）f（x）=x3；（2）f（x）=xcosx；（3）f（x）=tanx．其中圖象能等分圓的面積的函數個數為（　　）
A、3B、2C、1D、0

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