Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lg

1x+2x+3x+…+(m-1)x+mxa

m

，其中a∈R，m是給定的正整數(shù)，且m≥2．如果不等式f（x）＞（x-1）lgm在區(qū)間[1，+∞）上有解，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：依據(jù)題意利用函數(shù)解析式，根據(jù)題設(shè)不等式求得1-a＜（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x=g（x）．根據(jù)m的范圍，判斷出g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，進而求得函數(shù)g（x）的最大值，利用g（x）_max＞1-a求得a范圍．

解答： 解：∵f（x）=lg

1x+2x+3x+…+(m-1)x+mxa

m

＞（x-1）lgm=lgm^x-1，
∴

1x+2x+3x+…+(m-1)x+mxa

m

＞m^x-1，
∴1-a＜（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x=g（x），
∵

1

m

，

2

m

，…，

m-1

m

∈（0，1），
∴g（x）在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴g（x）_max=f（1）=

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

=

m-1

2

，
由題意知1-a＜

m-1

2

，
∴a＞

3-m，

2

，
∵m是給定的正整數(shù)，且m≥2，
∴a＞

1

2

．
故答案為：（

1

2

，+∞）．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)．考查了學生對函數(shù)基礎(chǔ)知識的掌握程度，是中檔題．