Question

20．已知函數(shù)f（x）=3ax⁴-2（3a+1）x²+4x，在（-1，1）上是增函數(shù)，求a的取值范圍（　　）$．

• A． [-$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{6}$]
• B． （0，$\frac{1}{6}$]
• C． （0，$\frac{1}{6}$）
• D． （-$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{6}$）

Answer 1

分析 f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，則f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立，從而3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立，可求a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
則f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立，
而f′（x）=4（x-1）（3ax²+3ax-1），
∴3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立
令g（x）=3ax²+3ax-1
則 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{g（-1）≤0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{g（-\frac{1}{2}）≤0}\end{array}\right.$或a=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-1≤0}\\{6a-1≤0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-\frac{3a}{4}-1≤0}\end{array}\right.$或a=0
∴-$\frac{4}{3}$≤a≤$\frac{1}{6}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．