Question

17．設圓C：x²+y²-2（t+3）x-2ty+t²+4t+8=0（t≠-1）．
（1）當t變化時，圓心C是否在同一直線上？若在同一直線上，請寫出該直線方程；若不在，請說明理由；
（2）設直線l：x+y-3=0與圓C交于A，B，求弦AB的最大值；
（3）當t變化時，可得一系列圓，是否存在直線m與這些圓都相切？若存在，求出直線m的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）圓C：x²+y²-2（t+3）x-2ty+t²+4t+8=0的圓心為（t+3，t），進而可得結論；
（2）圓C的半徑r=|t+1|，圓心C到直線l：x+y-3=0的距離d=$\sqrt{2}$|t|，故弦AB=2$\sqrt{{r}^{2}-p9vv5xb5^{2}}$，結合二次函數的圖象和性質，可得弦AB的最大值；
（3）存在直線m：y=-1，x=2與這一系列圓都相切，分類討論，可得答案．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-2（t+3）x-2ty+t²+4t+8=0的圓心為（t+3，t），
故當t變化時，圓心C在直線y=x-3上；
（2）圓C：x²+y²-2（t+3）x-2ty+t²+4t+8=0的半徑r=|t+1|，
圓心C到直線l：x+y-3=0的距離d=$\frac{|t+3+t-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|t|，
故弦AB=2$\sqrt{{r}^{2}-p9vv5xb5^{2}}$=2$\sqrt{-{t}^{2}+2t+1}$，
當t=1時，AB取得取最大值2$\sqrt{2}$；
（3）存在直線m：y=-1，x=2與這一系列圓都相切，理由如下：
當直線m與x軸垂直時，
設m的方程為：x=b，則|t+3-b|=|t+1|恒成立，
即t+3-b=t+1，或t+3-b=-（t+1），
解得：b=2，
即直線m的方程為：x=2；
當直線m與x軸不垂直時，
設m的方程為：y=kx+b，
則$\frac{|k（t+3）-t+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=|t+1|恒成立，
即（k-1）²t²+2（k-1）（3k+b）t+（3k+b）²=（1+k²）t²+2（1+k²）t+（1+k²），
即$\left\{\begin{array}{l}（k-1）^{2}=（1+{k}^{2}）\\ 2（k-1）（3k+b）=2（1+{k}^{2}）\\（3k+{b）}^{2}=（1+{k}^{2}）\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=0\\ b=-1\end{array}\right.$
即直線m的方程為：y=-1；
綜上可得：存在直線m：y=-1，x=2與這一系列圓都相切．

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，二次函數的圖象和性質，點到直線的距離，難度中檔．