Question

如圖,P是△ABC所在平面外一點,A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心.

(1)求證:平面A′B′C′∥平面ABC;

(2)求S_{△A′B′C′}∶S_△ABC.

Answer 1

(1)證明:連結PA′、PC′并延長,分別交BC、AB于M、N,

∵A′、C′分別是△PBC、△PAB的重心,

∴M、N分別是BC、AB的中點.連結MN,

由,∴A′C′∥MN,MN?平面ABC.∴A′C′∥平面ABC.

同理,A′B′∥平面ABC.而A′C′和A′B′是平面A′B′C′內的相交直線,

∴平面A′B′C′∥平面ABC.

(2)解析:由(1)可知A′C′∥MN,A′C′∶MN=,∴A′C′=MN=×AC=AC.

同理,A′B′=AB,B′C′=BC.

∴.

∴△A′B′C′∽△ABC.

∴S_{△A′B′C′}∶S_△ABC=1∶9.

小結:相似圖形中,面積之比等于相似比的平方在立體幾何中仍然適用,只需將其相似比求出便可.