Question

在△PAB中A₁∈PA，B₁∈PB，如圖（1）所示，則△PA₁B₁和△PAB具有面積關系

S△PA1B1

S△PAB

=

PA 1•PB 1

PA •PB

在平面幾何中該關系式已經證明是成立的．請你在三棱錐P-ABC中（圖2）寫出一個類似的正確結論；并給予證明．

Answer 1

分析：根據類比推理確定空間中類似的結論．

解答：解：結論：在三棱錐P-ABC中，A₁∈PA，B₁∈PB，C₁∈PC，則兩三棱錐P-A₁B₁C₁和P-ABC體積具有關系式：

VP-A1B1C1

VP-ABC

=

PA1•PB1•PC1

PA•PB•PC

．…
如圖（2）
證明：過B₁作B₁H₁⊥面PAC于H₁，過B作BH⊥面PAC于H，則B₁H₁∥BH，
則點B，B₁，P，H₁，H共面，易證：點P，H₁，H三點共線．
因為△B₁PH₁∽△BPH，所以

B1H1

BH

=

PB1

PB

                                           
由平面幾何可知：

S△PA1C1

S△PAC

=

PA1?PC1

PA?PC

，

VP-A1B1C1

VP-ABC

=

VB1-PA1C1

VB-PAC

=

1 3 S△PA1C1?B1H1

1 3 S△PAC?BH

=

PA1?PB1?PC1

PA?PB?PC

點評：本題主要考查類比推理的應用，要求根據平面之間的關系類比到空間中，考查學生的推理能力．