Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，證明： .

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，先求導(dǎo)，于導(dǎo)數(shù)可知導(dǎo)數(shù)的符號(hào)受參數(shù)的取值的影響，根據(jù)， ， ，分析即可，（2）要證，問題轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，只需證明是增函數(shù)即可

試題解析：

解：（1）的定義域?yàn)?/span>，且，

①當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

②當(dāng)時(shí)，由，得；

由，得.

此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

③當(dāng)時(shí)，由，得；

由，得.

此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

（2）當(dāng)時(shí)，要證： ，

只要證： ，即證： .（*）

設(shè)，則，

設(shè)，

由（1）知在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)， ，于是，所以在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，（*）式成立，

故當(dāng)時(shí)， .

.