Question

【題目】如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,則棱SB垂直于底面.

(1)求證：平面SBD⊥平面SAC；

(2)若SA與平面SCD所成角的正弦值為,求SB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 2或．

【解析】

(1)連結(jié)AC,BD,證明AC⊥BD,AC⊥SB,得出AC⊥面SBD,即可證明平面SAC⊥平面SBD；

(2)將四棱錐補(bǔ)成正四棱柱ABCD-A′SC′D′,連結(jié)A′D,作AE⊥A′D于E,連結(jié)SE,

證明AE⊥面SCD,得出∠ASE為SA與平面SCD所成角的平面角,利用直角三角形的邊角關(guān)系求出SB的長(zhǎng)．

(1)證明：連結(jié)AC,BD,如圖所示；

∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,

∵SB⊥底面ABCD,∴AC⊥SB,

∴AC⊥面SBD,

又由AC面SAC,∴面SAC⊥面SBD．

(2)解：將四棱錐補(bǔ)成正四棱柱ABCD-A′SC′D′,

連結(jié)A′D,作AE⊥A′D于E,連結(jié)SE，如圖所示；

由SA′∥CD,知平面SCD即為平面SCDA′,

∵CD⊥側(cè)面ADD′A′,∴CD⊥AE,

又AE⊥A′D,∴AE⊥面SCD,

∴∠ASE即為SA與平面SCD所成角的平面角,

設(shè)SB=x,

在直角△ABS中,由勾股定理得SA=；

在直角△SAE中,=，得AE=；

在直角△DAA′中，A′DAE=ADAA′,

即=1x；

解得x=2或x=；

∴SB的長(zhǎng)為2或．