Question

【題目】已知函數，且.

（1）求實數的值，并指出函數的定義域；

（2）將函數圖象上的所有點向右平行移動1個單位得到函數的圖象，寫出函數的表達式；

（3）對于（2）中的，關于的函數在上的最小值為2，求的值.

Answer 1

【答案】(1)；定義域；(2)；(3).

【解析】

（1）根據，結合對數運算，即可求得參數；由真數大于零，即可求得定義域.

（2）根據左加右減的平移原則，即可容易求得；

（3）利用換元法，將問題轉化為求二次函數最小值的問題，根據動軸定區間問題的處理方式，分類討論即可.

（1）因為，且，

故可得，解得.

故，要使得函數有意義，

則，解得，

故函數的定義域為.

（2）圖象上的所有點向右平行移動1個單位得到函數的圖象，

又因為，

故可得.

（3）由（2）可知，

故等價于：

，

令，則

則在上的最小值為.

又因為其對稱軸為，

①當時，二次函數在上單調遞增，

故，不符合題意，故舍去；

②當時，二次函數在單調遞減，在單調遞增，

故，解得，

故此時滿足題意的；

③當時，二次函數在上單調遞減，

故，解得，故舍去.

綜上所述：.