Question

設(shè)數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且．an+1=2sn+1，n∈N*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）等差數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其n項(xiàng)和T_n，且T₃=15又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，求T_n；
（III）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和P_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）再寫(xiě)一式，兩式相減，可得{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用T₃=15又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，從而可求T_n；
（III）利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=2S_n+1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1+1，
兩式相減，整理可得a_n+1=3a_n，
又a₁=1，a₂=2S₁+1=3=3a₁，
所以{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．
故a_n=3^n-1．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，則d＞0．
由T₃=15得b₂=5．
又a₁=1，a₂=3，a₃=9，∴（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，∴d=2，∴b₁=3，
∴T_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n；
（III）由a_n=3^n-1，b_n=1+2n，所以a_nb_n=（1+2n）×3^n-1，
故Pn=3×1+5×31+7×32+…+(2n+1)×3n-1，
∴3Pn=3×3+5×32+7×33+…+(2n+1)×3n
兩式相減得，-2Pn=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)×3n=-2n•3ⁿ，
∴Pn=n•3n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查等比數(shù)列的判斷，正確運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式是關(guān)鍵．