Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，對任意的n∈N^*，向量

a

=(-1，an)，

b

=(an+1，q)（q是常數(shù)，q＞0）都滿足

a

⊥

b

，求

lim

n→∞

Sn

Sn+1

．

Answer 1

分析：由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量垂直的性質(zhì)求得

an+1

an

=q，再分q=1和q≠1兩種情況，分別求得

lim

n→∞

Sn

Sn+1

的值．

解答：解：∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=-an+1+anq=0，即

an+1

an

=q，故數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)、以q為公比的等比數(shù)列．
當(dāng)q=1時，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=

lim

n→∞

na1

(n+1)a1

=1；
當(dāng)q≠1時，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=

lim

n→∞

1-qn

1-qn+1

=

1，0＜q＜1 1 q ，q＞1

．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量垂直的性質(zhì)，等比關(guān)系的確定，求數(shù)列的極限，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．