Question

已知各項均為正數的等比數列{a_n}滿足a₂•a₄=a₆，

2

a3

+

1

a4

=

1

a5

．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，前n項積為T_n，求所有的正整數k，使得對任意的n∈N^*，不等式S_n+K+

Tn

4

＜1恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等比數列的通項公式及已知條件即可得出；
（Ⅱ）利用等比數列、等差數列的前n項和公式、指數冪的運算性質、二次函數的單調性即可得出．

解答：解：（Ⅰ） 設等比數列{a_n}的首項為a₁＞0，公比為q＞0，
∵a₂•a₄=a₆，

2

a3

+

1

a4

=

1

a5

，
∴

a1q•a1q3=a1q5 2 a1q2 + 1 a1q3 = 1 a1q4

，
解得a1=q=

1

2

，
∴an=

1

2n

．
（Ⅱ）∵an=

1

2n

，
∴Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

，
Tn=

1

2

×

1

22

×…×

1

2n

=(

1

2

)

n(n+1)

2

，
若存在正整數k，使得不等式Sn+k+

Tn

4

＜1對任意的n∈N^*都成立，
則1-

1

2n+k

+(

1

2

)

n(n+1)

2

+2＜1，即k＜

1

2

[(n-

1

2

)2+

15

4

]，
∵只有當n=1時，

1

2

[(n-

1

2

)2+

15

4

]取得最小值2，滿足題意．
∴k＜2，正整數k只有取k=1．

點評：本題主要考查等比數列的通項公式及等差、等比數列的求和公式、不等式及其恒成立問題等基礎知識，同時考查運算求解能力．