Question

6．設集合A={（x，y）|y=x²+2bx+1}，B={（x，y）|y=2a（x+b）}，且A∩B是單元素集合，若存在a＜0，b＜0使點P∈{（x，y）|（x-a）²+（y-b）²≤1}，則點P所在的區域的面積為2π．

Answer 1

分析 先根據A∩B是一個單元素集合，得到直線和拋物線相切，得到a²+b²=1，結合圖象得到集合P的面積=半徑為1小圓的面積+半徑為2大圓的面積的$\frac{1}{4}$，問題得以解決

解答 解：集合A={（x，y）|y=x²+2bx+1}，B={（x，y）|y=2a（x+b）}，且A∩B是一個單元素集合，
∴直線和拋物線相切，
∴由x²+2bx+1=2a（x+b），即x²+2（b-a）x+1-2ab=0，有相等的實根，所以△=0即a²+b²=1，
∵存在a＜0，b＜0，P={（x，y）|（x-a）²+（y-b）²≤1}，
∴圓心在以原點為圓心，以1為半徑的圓上的一部分（第三象限）
∴如圖所示，集合P中圓的邊界的移動是半徑為1的圓的邊界的移動就是沿著那個半徑為2的那個$\frac{1}{4}$圓弧上，
∴集合P的面積=半徑為1小圓的面積+半徑為2大圓的面積的$\frac{1}{4}$，
∴集合C的面積=π+π=2π，
故答案為：2π．

點評 本題考查了直線和拋物線的位置關系，以及集合與集合的關系，關鍵是畫出圖形．