Question

3．若0≤α＜β＜γ＜2π且sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，求β-α

Answer 1

分析 由已知等式表示出cosγ與sinγ，代入sin²γ+cos²γ=1中，整理后利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡即可得解β-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$．①同理可得：γ-β=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$②，γ-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$③．解得β-α的值為$\frac{2π}{3}$．

解答 解：∵cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，
∴cosγ=-cosα-cosβ，sinγ=-sinα-sinβ，
∵sin²γ+cos²γ=1，
∴（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²=1，
整理得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，即cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（β-α）=-$\frac{1}{2}$，
∵0≤α＜β＜2π，
∴0＜β-α＜2π
∴β-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$．①
∴同理可得：cos（γ-β）=-$\frac{1}{2}$，解得：γ-β=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$②．
cos（γ-α）=-$\frac{1}{2}$；解得：γ-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$③．
∵0≤α＜β＜γ＜2π，
∴β-α=$\frac{2π}{3}$，γ-β=$\frac{2π}{3}$，γ-α=$\frac{4π}{3}$．
故β-α的值為$\frac{2π}{3}$．

點評 此題考查了同角三角函數基本關系的運用，考查了三角函數的恒等變形，兩角和與差的三角函數，公式的正確應用的解題關鍵，屬于中檔題．