Question

已知函數(shù).
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)在上的單調性，并給出證明；
（3）當時，函數(shù)的值域是，求實數(shù)與的值；

Answer 1

（1）為奇函數(shù)。 （2）當時，在上是減函數(shù).當時，在上是增函數(shù). （3），.   

試題分析：（1）由得函數(shù)的定義域為， 2分
又
所以為奇函數(shù)。                                               4分
（2）由(1)及題設知：，設，
∴當時， ∴.   6分 
當時，，即.
∴當時，在上是減函數(shù).    
同理當時，在上是增函數(shù).               8分
（3）①當時，有. 
由(2)可知：在為增函數(shù)，                             9分
由其值域為知 ,無解                 10分
②當時，有.由(2)知：在為減函數(shù),
由其值域為知                            11分
得，.                                             12分
點評：偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調性相反，而奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調性相同