Question

【題目】設頂點在原點，焦點在軸上的拋物線過點，過作拋物線的動弦， ，并設它們的斜率分別為， .

(Ⅰ)求拋物線的方程；

(Ⅱ)若，求證：直線的斜率為定值，并求出其值；

（III）若，求證：直線恒過定點，并求出其坐標.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見解析（III）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用焦點在軸上設出拋物線的方程，再代點進行求解；（Ⅱ）在拋物線上設點,利用斜率公式求相關直線的斜率，利用斜率和為0求出等量關系，進而可以證明；（III）利用斜率之積為定值得到等量關系，再寫出直線的點斜式方程，進而得到結論.

試題解析：(Ⅰ)依題意，可設所求拋物線的方程為,

因拋物線過點，故，拋物線的方程為.

(Ⅱ)設，則，

同理

,∴， .

，即直線的斜率恒為定值，且值為.

（III），∴，∴.

直線的方程為 ，即.

將代入上式得即為直線的方程，

所以直線恒過定點，命題得證.