Question

19．已知函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，x≥1}\\{{x^3}，x＜1}\end{array}}$，若關于x的方程f（x）=k（x+1）有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{27}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 做出f（x）的函數圖象，根據圖象計算y=k（x+1）與f（x）相切時的斜率，和過點（1，1）時的斜率，得出k的范圍．

解答 解：做出f（x）的函數圖象如圖所示：

過P（-1，0）做直線y=k₁（x+1），使得該直線過點（1，1），
則k₁=$\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$，
∴當0＜k＜$\frac{1}{2}$時，直線y=k（x+1）與y=f（x）有兩個交點，
設y=k₂（x+1）與y=f（x）相切，切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=3{{x}_{0}}^{2}}\\{{y}_{0}={k}_{2}（{x}_{0}+1）}\\{{y}_{0}={{x}_{0}}^{3}}\end{array}\right.$，解得k₂=$\frac{27}{4}$．
∴當k＞$\frac{27}{4}$時，直線y=k（x+1）與y=f（x）有兩個交點．
綜上，k的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{27}{4}$，+∞）．

點評 本題考查了函數的圖象與零點的個數判斷，切線的幾何意義，屬于中檔題．