Question

14．已知函數f（x）=（x-k）e^x，
（1）求f（x）過點（1，0）的切線方程；    
（2）求f（x）在區間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求在x=1處的導數得到切線的斜率，然后求出切點坐標，根據點斜式方程可求出切線方程；
（2）求導，令f′（x）=0，得x=k-1，對k-1是否在區間[0，1]內進行討論，從而求得f（x）在區間[0，1]上的最小值．

解答 解：（1）f（1）=（1-k）e=0，∴k=1，
∴∵f'（x）=xe^x，
∴f'（1）=e，而f（1）=0，
∴f（x）在x=1處的切線方程為：y-0=e（x-1）即y=ex-e；
（2）f′（x）=（x-k+1）e^x，
令f′（x）=0，得x=k-1，
當k-1≤0，即k≤1時，函數f（x）在區間[0，1]上單調遞增，
∴f（x）在區間[0，1]上的最小值為f（0）=-k；
當0＜k-1＜1，即1＜k＜2時，由（I）知，f（x）在區間[0，k-1]上單調遞減，f（x）在區間（k-1，1]上單調遞增，
∴f（x）在區間[0，1]上的最小值為f（k-1）=-e^k-1；
當k-1≥1，即k≥2時，函數f（x）在區間[0，1]上單調遞減，
∴f（x）在區間[0，1]上的最小值為f（1）=（1-k）e；
綜上所述f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-k，k≤1}\\{-{e}^{k-1}，1＜k＜2}\\{（1-k）e，k≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查利用導數研究函數的單調性和在閉區間上的最值問題，對方程f'（x）=0根是否在區間[0，1]內進行討論，體現了分類討論的思想方法，增加了題目的難度．屬于中檔題．