Question

已知點A、B是拋物線y²=4x上的兩點，O是坐標原點，

OA

•

OB

=0，直線AB交x軸于點C，則|

OC

|=

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出A，B的坐標，討論直線斜率存在時，聯立直線方程與拋物線方程，利用消元法得到關于x的一元二次方程，由

OA

•

OB

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，建立關于參數k，b的關系，消去b可得直線恒過（4，0），可得C的坐標，即可得到向量OC的模，再考慮斜率不存在，同樣可得C的坐標和向量OC的模．

解答： 解：設點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
（1）當直線l存在斜率時，設直線方程為y=kx+b，顯然k≠0且b≠0．
聯立方程得：

y=kx+b y2=4x

，消去y得k²x²+（2kb-4）x+b²=0
則x₁x₂=

b2

k2

，
由y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
則y₁y₂=4•

b

k

，
又

OA

•

OB

=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，
即

b2

k2

+

4b

k

=0，
解得b=0（舍去）或b=-4k，
故直線l的方程為：y=kx-k=k（x-4），故直線過定點（4，0），
則有C（4，0），則|

OC

|=4．
（2）當直線l斜率不存在時，設它的方程為x=m，顯然m＞0，
聯立方程得：

x=m y2=4x

解得 y=±2

m

，即y₁y₂=-4m
又因為

OA

•

OB

=0，所以可得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-4m=0，
解得m=0（舍去）或m=4
可知直線l方程為：x=4，
故直線過定點（4，0）．
即有C（4，0），則|

OC

|=4．
故答案為：4．

點評：本題考查向量垂直的條件，同時考查直線與拋物線的位置關系，以及證明直線恒過定點，屬于中檔題．