Question

已知函數f（x）=

kx+k(a-1)，x≥0 1 3 x3- 1 2 ax2+(a-1)x-a2+2a-2，x＜0

，其中a∈R，若對任意的非零的實數x₁，存在唯一的非零的實數x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，則k的最大值為（　�。�

• A、-1
• B、-2
• C、-4
• D、-3

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：求函數的導數f′（x）=x²-ax+（a-1）=（x-a+1）（x-1），結合分段函數的表達式從而確定函數的單調性，利用基本不等式進行求解即可．

解答： 解：由分段函數可得f（0）=k（a-1），
當x＜0時，f′（x）=x²-ax+a-1=（x-1）[x-（a-1）]，
若對任意的非零的實數x₁，存在唯一的非零的實數x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
則知函數f（x）在（-∞，0）上是增函數，
當x≥0時，f（x）=k（x+a-1），此時對應直線和x軸的交點為（1-a，0），
故-a+1≤0，故a≥1；
而由-a²+2a-2=k（a-1）知，
當a=1時不成立，
故a＞1，
則k=

-a2+2a-2

a-1

=

-(a-1)2-1

a-1

=-（a-1+

1

a-1

）≤-2

(a-1)• 1 a-1

=-2，
（當且僅當a-1=

1

a-1

，即a=2時，等號成立）；
故k的最大值為-2，
故選：B

點評：本題主要考查分段函數的應用，利用導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．