Question

17．若函數y=f（x）在區(qū)間I上是增函數，且函數$y=\frac{f（x）}{x}$在區(qū)間I上是減函數，則稱函數f（x）是區(qū)間I上的“H函數”．對于命題：①函數$f（x）=-x+2\sqrt{x}$是（0，1）上的“H函數”；②函數$g（x）=\frac{2x}{{1-{x^2}}}$是（0，1）上的“H函數”．下列判斷正確的是（　　）

• A． ①和②均為真命題
• B． ①為真命題，②為假命題
• C． ①為假命題，②為真命題
• D． ①和②均為假命題

Answer 1

分析 對函數$f（x）=-x+2\sqrt{x}$，G（x）=$\frac{-x+2\sqrt{x}}{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}-1$在（0，1）上的單調性進行判斷，得命題①是真命題．對函數$g（x）=\frac{2x}{{1-{x^2}}}$=$\frac{2}{\frac{1}{x}-x}$，H（x）=$\frac{g（x）}{x}=\frac{1}{1-{x}^{2}}$在（0，1）上單調性進行判斷，得命題②是假命題．

解答 解：對于命題①：令t=$\sqrt{x}$，函數$f（x）=-x+2\sqrt{x}$=-t²+2t，∵t=$\sqrt{x}$在（0，1）上是增函數，
函數y=-t²+2t在（0，1）上是增函數，∴在（0，1）上是增函數；
G（x）=$\frac{-x+2\sqrt{x}}{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}-1$在（0，1）上是減函數，
∴函數$f（x）=-x+2\sqrt{x}$是（0，1）上的“H函數“，故命題①是真命題．
對于命題②，函數$g（x）=\frac{2x}{{1-{x^2}}}$=$\frac{2}{\frac{1}{x}-x}$是（0，1）上的增函數，H（x）=$\frac{g（x）}{x}=\frac{1}{1-{x}^{2}}$是（0，1）上的增函數，故命題②是假命題；
故選：B．

點評 本題考查了命題真假的判定，涉及到了函數的單調性，屬于中檔題．