Question

（本小題滿分14分）
如圖6所示，等腰三角形△ABC的底邊AB=，高CD=3.點E是線段BD上異于B、D的動點.點F在BC邊上，且EF⊥AB.現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.
記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACFE的體積。
（1）求V(x)的表達式；
（2）當(dāng)x為何值時，V(x)取得最大值？
（3）當(dāng)V（x）取得最大值時，求異面直線
AC與PF所成角的余弦值。

Answer 1

（1）四棱錐的體積V(x)=SH=9（1-）=3（1-）(0<x<3)
（2）x=6時， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12 
（3）異面直線AC與PF所成角的余弦值為   cos∠PFQ=1/7

(1)已知EFAB,那么翻折后，顯然有PEEF,又PEAE,   從而PE面ABC,即PE為四棱錐的高。
四棱錐的底面積S=-
而△BEF與△BDC相似，那么
===
則S=-=（1-）63=9（1-）
故四棱錐的體積V(x)=SH=9（1-）=3（1-）(0<x<3)
(2) V’(x)= 3-x²(0<x<3)
令V’(x)=0得x=6
當(dāng)x∈(0，6)時，V’(x)>0,V(x)單調(diào)遞增；x∈(6，3)時V’(x)><0,V(x)單調(diào)遞減；
因此x=6時， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12 
(3)過P作PQ∥AC交AB于點Q
那么△PQF中PF=FQ=，而PQ=6
進而求得cos∠PFQ="   "
故異面直線AC與PF所成角的余弦值為  cos∠PFQ=" " 1/7