Question

已知函數f（x）=-

1

2

x²-3x+4lnx在[t，t+1]上不單調，則實數t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的單調性與導數的關系

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：先由函數求f′（x）=-x-3+

4

x

，再由“函數f（x）=-

1

2

x²-3x+4lnx在[t，t+1]上不單調”轉化為“f′（x）=-x-3+

4

x

=0在區間（t，t+1）上有解”從而有

x2+3x-4

x

=0在（t，t+1）上有解，進而轉化為：x²+3x-4=0在（t，t+1）上有解，進而求出答案．

解答： 解：∵函數f（x）=-

1

2

x²-3x+4lnx，
∴f′（x）=-x-3+

4

x

，
∵函數f（x）=-

1

2

x²-3x+4lnx在（t，t+1）上不單調，
∴f′（x）=-x-3+

4

x

=0在（t，t+1）上有解
∴

x2+3x-4

x

=0在（t，t+1）上有解
∴g（x）=x²+3x-4=0在（t，t+1）上有解，
由x²+3x-4=0得：x=1，或x=-4（舍），
∴1∈（t，t+1），
即t∈（0，1），
故實數t的取值范圍是（0，1），
故答案為：（0，1）．

點評：本題主要考查導數法研究函數的單調性，基本思路：當函數是增函數時，導數大于等于零恒成立，當函數是減函數時，導數小于等于零恒成立，然后轉化為求相應函數的最值問題．注意判別式的應用．