Question

11．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC₁上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則下列命題正確的是①②④（寫出所有正確命題的編號）．
①當0＜CQ$＜\frac{1}{2}$時，S為四邊形
②當CQ=$\frac{1}{2}$時，S為等腰梯形
③當CQ=$\frac{3}{4}$時，S與C₁D₁的交點R滿足C₁R=$\frac{2}{3}$
④當CQ=1時，S的面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，②當CQ=$\frac{1}{2}$時，即Q為CC₁中點，此時可得PQ∥AD₁，AP=QD₁，即可判斷出真假．
①由上圖當點Q向C移動時，滿足0＜CQ＜$\frac{1}{2}$，只需在DD₁上取點M滿足AM∥PQ，即可判斷出真假．
③當CQ=$\frac{3}{4}$時，如圖，延長DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，連接AN交A₁D₁于S，連接NQ交C₁D₁于R，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，可得C₁R，即可判斷出真假；
④當CQ=1時，Q與C₁重合，取A₁D₁的中點F，連接AF，可證PC₁∥AF，且PC₁=AF，可知截面為APC₁F為菱形，可得其面積．

解答 解：如圖所示，
②當CQ=$\frac{1}{2}$時，即Q為CC₁中點，此時可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故可得截面APQD₁為等腰梯形，故②正確；
①由上圖當點Q向C移動時，滿足0＜CQ＜$\frac{1}{2}$，只需在DD₁上取點M滿足AM∥PQ，
即可得截面為四邊形APQM，故①正確；
③當CQ=$\frac{3}{4}$時，如圖，
延長DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，連接AN交A₁D₁于S，連接NQ交C₁D₁于R，連接SR，
可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=$\frac{1}{3}$，故③不正確；
④當CQ=1時，Q與C₁重合，取A₁D₁的中點F，連接AF，可證PC₁∥AF，且PC₁=AF，
可知截面為APC₁F為菱形，故其面積為$\frac{1}{2}$AC₁•PF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，故④正確．
綜上可得：只有①②④正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了正方體的性質、線面面面平行的判定與性質定理、平行線分線段成比例定理、相似三角形的性質、菱形面積計算公式，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．