Question

10．若函數$f（x）={x^2}+ax+\frac{1}{x}$在$（{\frac{1}{2}\;\;，\;\;1}）$內任取兩個實數p，q，且p≠q，不等式$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}＞0$恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． [-1，0]
• B． [-1，+∞）
• C． [0，3]
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 根據p≠q，不等式$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}＞0$恒成立，只需該函數在（$\frac{1}{2}$，1）內的導數大于0恒成立．

解答 解：由題意，要使不等式$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}＞0$恒成立，
只需f′（x）＞0在（$\frac{1}{2}$，1）上恒成立．
因為f′（x）=2x+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$，所以2x+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0在（$\frac{1}{2}$，1）上恒成立，
即a＞$\frac{1}{{x}^{2}}$-2x，x∈（$\frac{1}{2}$，1）恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-2x，x∈（$\frac{1}{2}$，1），g′（x）=-$\frac{2}{{x}^{3}}$-2＜0，
g（x）在（$\frac{1}{2}$，1）遞減，g（x）＜g（$\frac{1}{2}$）=3
只需a≥3，
故選：D．

點評 本題考查了導數的幾何意義以及不等式恒成立問題的基本思路．屬于中檔題．