Question

18．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（0＜b＜2）的右焦點為F，右頂點為A，已知$\frac{|FA|}{|OF|}$+$\frac{|FA|}{|OA|}$=3e，其中O為原點，e為橢圓的離心率．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過點A的直線l與橢圓交于點B（B不在x軸上），若點H（0，$\frac{4}{3}$），以BH為直徑的圓過F點，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）根據題意，可得$\frac{a-c}{c}$+$\frac{a-c}{a}$=3×$\frac{c}{a}$，變形可得a²=4c²，結合橢圓的標準方程可得a²=4以及c²=1，進而計算可得b²的值，將其代入橢圓的標準方程，計算可得答案；
（2）根據題意，設出直線l的斜率以及方程，聯立直線與橢圓的方程，解可得B的坐標，結合F、H的坐標可得向量$\overrightarrow{HF}$與$\overrightarrow{BF}$的坐標，分析可得BH為直徑的圓過點F，得$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{HF}$=0，進而有1×$\frac{9-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$-（$\frac{4}{3}$）×$\frac{12k}{4{k}^{2}+3}$）=0，解可得k的值，即得答案．

解答 解：（1）根據題意，$\frac{|FA|}{|OF|}$+$\frac{|FA|}{|OA|}$=3e，有$\frac{a-c}{c}$+$\frac{a-c}{a}$=3×$\frac{c}{a}$，變形可得a²-c²=3c²，即a²=4c²，
又由a²=4，則c²=1，
b²=a²-c²=3，
故橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設直線l的斜率為k，（k≠0），則直線l的方程為y=k（x-2）；
設B（x_B，y_B），
聯立方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，消去y整理可得（4k²+3）x²-16k²x+16k²-12=0，
解可得x=2或x=$\frac{8{k}^{2}-6}{4{k}^{2}+3}$，
由題意可得x_B=$\frac{8{k}^{2}-6}{4{k}^{2}+3}$，y_B=$\frac{-12k}{4{k}^{2}+3}$，
由（1）可得：F（1，0），又由H（0，$\frac{4}{3}$），
則有$\overrightarrow{HF}$=（1，-$\frac{4}{3}$），$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{9-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{12k}{4{k}^{2}+3}$），
以BH為直徑的圓過點F，得$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{HF}$=0，
即1×$\frac{9-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$-（$\frac{4}{3}$）×$\frac{12k}{4{k}^{2}+3}$）=0，
解可得k=-$\frac{9}{2}$或k=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓與直線的位置關系，涉及橢圓的簡單幾何性質以及標準方程的應用，關鍵是依據題意，求出橢圓的方程．